OLIMPIADA MATEMÁTICA

Ya están los problemas de la olimpiada matematica 2014

Podríais darme vuestros teléfonos?Es para un grupo de mates de Whatsapp.

Pues viendo los problemas del Concurso Puig Adam de Madrid, (que es un concurso matemático a nivel Nacional que se realiza para las mismas fechas que la Olimpiada Matemática de C-LM de la ESO en el que hay tres niveles, 3º de la eso, 4º de la eso y 1º de Bach.), me he encontrado con un problema muy chulo que ya lo he intentado hacer, pero hay varias cosas que me gustaría discutir, ya que creo que hay más soluciones que las que yo he obtenido... Ahí va: Encuentra todos los positivos m y n, con n impar, tal que 1/m+4/n=1/12. Ante todo, es un problema de nivel de 1º de Bach, oséase , que no es nada fácil para nosotros.

sulucion al problema anterior propuesta por Juan Alberto

Esta es mi solución explicada sin utilización alguna de calculadora gráfica. 

Para calcular la distancia mas corta sin calculadora grafica, tenemos que calcular la posición del centro de las circunferencias.

par ello calcularemos el radio de la circunferencia, y la posición de un punto cualquiera de ella.

Para poder calcularlo, sacaremos los dos valores de un eje (en este caso el eje x) entre donde se comprenda la circunferencia                  (dominio de x)

Para ello despejamos y

1º circunferencia:

x^2+y^2=9                                            nota rc= raíz cuadrada

y = rc(9-x^2)

Es deci, para que la y no sea un numero imaginario, la x tiene que  ser un valor entre -3 y 3

2º circunferencia:

x^2+y^2-12x+6y+41=0

y^2+6y = -x^2+12x-41

si llamamos a la expresión -x^2+12x-41= Xt

y=(-6 +- rc(6^2 -4* 1 *-Xt))/2*1

y= (-6 +- rc(36+4Xt))/2

entonces

4 Xt= 48x-4x^2-164

 Entonces 48x-4x^2-164 tiene que ser un número mayor a -36 para poder resolver la raíz cuadrada sin números imaginarios

Planteamos la inecuación de segundo grado

-4x^2+48x-164 >= -36

                 

La resolvemos x= 4 ó 8

Es decir, la x puede ser un valor entre 4 y 8

Como el radio es la mitad de los valores que nos han salido:

Radio 1º circunferencia: 3

Radio 2º circunferencia: 2

Ahora solo nos queda calcular la posición de los centros de las circunferencias:

1º circunferencia:

Si trazamos una línea desde  el -3 hasta el 3, esta pasara por el centro sin torcerse, con lo que podremos saber que el centro tendrá el mismo valor de “y” que el punto 3 de x

Calculamos con la formula despejada que hemos sacado antes:

y= rc(9-3^2)

y=0

como el punto 3 de x está a 3 de distancia del centro, el cento estará en el      3-3=0

el centro de la primera estará en (0,0)

2º circunferencia:

Resolvemos com en la primera:

y= (-6 +- rc(36+ 48x -4x^2-164))/2                         si x =8

y= -3

el centro estará -3 de y, 8-2 de x: (6,-3)

calculamos la distancia uniendo sus centros y restando sus radios.

Como la primera esta en el eje de coordenadas, y el segundo centro a 6 de x, -3 de y. utilizamos Pitágoras: rc(6^2+(-3)^2) – los radios 3+2

El resultado es rc(45) -5

Espero que le hayan entendido y gustado mi explicacion

La distancia más corta entre un punto de la circunferencia x^2 +y^2=9 y otro de la circunferencia x^2+y^2-12x+6y+41=0 es... ¿Podríais ayudarme?, porque no tengo ni idea... Lo he hecho con la calculadora gráfica... y la solución es la raíz cuadrada de 45 menos 5...(lo he hecho uniendo centros de las 2 circunferencias y restando cada radio) pero pone que no se puede utilizar ningun instrumento tales como calculadoras para realizar el ejercicio...

siete paradojas matemáticas para devanarse los sesos

cada día iré publicando una. espero que las entendáis todas estas paradojas matemáticas    ( y no físicas, que son las mas habituales)

La paradoja del Asno de Buridán

Se refiere a una situación paradójica en la que un asno que siempre tenía opciones bien diferenciables para realizar su elección, un día es colocado exactamente entre dos montones de heno de igual tamaño y calidad. La duda lo llevará a morirse de hambre ya que no podrá tomar ninguna decisión racional sobre cuál de los dos montones será su comida. Si bien ha sido nombrada en homenaje al filósofo francés Jean Buridan, la paradoja no fue originada por Buridán originalmente, sino por Aristóteles, que ejemplifica el pensamiento ante una decisión con opciones equilibradas o demasiado balanceadas, con un hombre que permanece inmóvil con tanta sed como hambre entre dos mesas. Una con bebidas y otra con comida. La paradoja es que la supuesta igualdad de condiciones puede condenar a elegir cualquier opción, pero la idea principal no era esa, sino la de elegir siempre la mejor opción. Habiendo dos opciones igual de “mejores” o “peores”, el panorama se complica. Se entra en ciclos de razonamiento complejos y el final es el que todos conocemos: la indecisión.

Aquiles y la tortuga

Otra del amigo Zenón en pos de mandar a callar a los pitagóricos negando la posibilidad del movimiento y hablando sobre el infinito. En la paradoja de Aquiles y la tortuga, tal y como en el cuento, ésta última se encuentra con alguien más rápido que ella. Se trata del gran Aquiles, que le dará una ventaja de 150 metros en una carrera pedestre. Alguna romana en cortos vestidos da la señal de salida y empezamos a suponer que cada corredor empieza a correr a cierta velocidad constante (uno muy rápido y otro muy lento). Después de un determinado lapso de tiempo, Aquiles ha recorrido 150 metros, llevándolo al punto de partida de la tortuga. Durante este tiempo, la tortuga ha avanzado una distancia mucho más corta, por ejemplo, 20 metros. Aquiles deberá recorrer durante un tiempo para alcanzar el punto en donde estaba la tortuga cuando el partió desde sus 150 metros. Para ese entonces, la tortuga ya habrá avanzado un poco más, demostrando que cada vez que Aquiles alcanza el estado anterior de la tortuga, esta ya se habrá movido. Por lo tanto, Aquiles nunca puede superar a la tortuga. Si ya estás afinando el lápiz para decirme que no, que la experiencia dicta otra cosa, tienes razón. Pero por esto mismo esto es una paradoja, pues está enunciada desde la matemática y no desde la física. Reglas matemáticas a situaciones no matemáticas pueden tener resultados extraños, como que se te escape la tortuga.

Paradoja del ahorcamiento sorpresa

Medioevo, una prisión en la fosa de un castillo, un condenado a muerte espera a que le digan en qué día de la agenda del verdugo dejará este mundo. Quien lo condena le indica que el ahorcamiento será una madrugada de la próxima semana, pero que no le dirá cuándo, buscando que sea sorpresa hasta que el verdugo le toque la puerta de su encierro. Escuchada esta frase, el prisionero se siente aliviado, pues sabe que se escapará de la muerte. ¿Qué? ¿Además de condenado estaba loco? No, al contrario. El prisionero razona que si lo que se le ha dicho es cierto y será colgado por sorpresa, el día elegido no será el viernes. Ya que si para el momento en que sea jueves no fue colgado, el ahorcamiento del viernes no sería una sorpresa. Lo mismo sucede con el jueves, pues si el viernes ya se eliminó y el miércoles de noche no es colgado, el jueves ya sería una obviedad. Lo mismo utiliza para eliminar el miércoles, el martes y el lunes, yéndose a dormir tranquilo con la idea fija de que no será ahorcado. La semana siguiente, el miércoles a la mañana, el prisionero fue ahorcado sorpresivamente. ¿Hace falta que te explique por qué lo que dijo el Rey se cumplió?

Si te pareció conocida es porque seguramente ya la viviste muchas veces, pues por algo también es conocida esta paradoja como la del examen sorpresa, donde además de las premisas, el final termina casi siempre siendo el mismo: mueres ahorcado valorativamente por el profesor verdugo.

Paradoja de la flecha

Discípulo directo de Parménides, Zenón de Elea dice en la paradoja de la flecha que si lanzábamos una flecha y tomábamos en cuenta sus millones de posiciones sobre el vuelo como si fueran instantes, nos daríamos cuenta que la flecha no realiza movimiento alguno, pues en todo momento tomado como instante está en posición específica, lo que anula el movimiento en sí mismo. Una manera de comprender mejor esto es pensar en los frames por segundo de una animación de corta duración. Si los tomamos como imágenes fijas, el movimiento no ocurre. Con esto que parece una tontería Zenón te cachetea el hipotálamo y te dice: no puedes juzgar si un objeto está en reposo o en movimiento observando sólo un instante cualquiera. Para sacar las conclusiones tendrás que comparar los instantes que le antecedan o prosigan. Así de simple, Zenón te hizo un nudo mental y puso en juego ciertas ideas sobre el concepto mismo de velocidad y su definición racional, dejando en ese tiempo una idea del tipo: ¿Es el movimiento un estado concreto o sólo es el resultado de una comparación de estados? 

La paradoja de la fuerza irresistible o imparable

¿Qué pasa cuando una fuerza irresistible se encuentra con un objeto inamovible? Esto es lo que cuestiona la paradoja que tiene una fuerte intrusión en el ámbito de la lógica. Como en todas las paradojas que venimos presentando, la idea no es pensarla como una realidad posible, sino como un ejercicio. Conocida como la paradoja de una fuerza irresistible o imparable, esta postulación viene a enfrentarse con la idea actual de la ciencia que indica que no existe ningún tipo de fuerza que sea completamente irresistible, además de aseverar teóricamente que no existen objetos inamovibles. Esto se produce porque un objeto inamovible igualmente tendría que tener una inercia con valor igual a infinito, por lo tanto debería estar constituido por una masa infinita. Si tenemos en cuenta un Universo finito, tal energía para la fuerza imparable no puede existir.

Problemas del milenio

hoy os voy ha hablar de los problemas mas famosos sin resolver del siglo: los problemas del milenio

Los problemas del milenio son siete problemas matemáticos cuya resolución sería premiada, según anunció el Clay Mathematics Institute en el año 2000, con la suma de un millón de dólares cada uno. A día de hoy únicamente uno de estos problemas ha sido resuelto (la hipótesis de Poincaré, por el ruso Grigori Perelmán pero éste ni siquiera quiso cobrar el premio), por lo cual aún seis de ellos permanecen abiertos.

La conjetura de Poincare

En matemáticas, y más precisamente en topología, la conjetura de Poincaré (también llamada hipótesis de Poincaré) es un resultado sobre la esfera tridimensional (la 3-esfera); la hipótesis dejó de ser una conjetura para convertirse en un teorema tras su comprobación en 2003 por el matemático ruso Grigori Perelmán. El teorema sostiene que la esfera tridimensional, también llamada 3-esfera o hiperesfera, es la única variedad compacta tridimensional en la que todo lazo o círculo cerrado (1-esfera) se puede deformar (transformar) en un punto. Este último enunciado es equivalente a decir que sólo hay una variedad cerrada y simplemente conexa de dimensión 3: la esfera tridimensional.¹

A fecha de 2013, ha sido el único de los siete problemas del milenio en ser resuelto.

P versus NP 

Artículo principal: P versus NP.

Consiste en decidir si la inclusión entre las clases de complejidad P y NP es estricta.

Las matemáticas actuales no poseen la suficiente capacidad para poder distinguir problemas de tipo P y NP, para los cuales es necesario desarrollar algoritmos bastante complejos. El problema en sí reside en que existen problemas que no pueden resolverse en tiempo polinomial en una máquina determinista, es decir, no son abarcables. La aritmética actual tiene límites a la hora de realizar algunos cálculos que ni los ordenadores más potentes pueden realizar en un tiempo "razonable", es decir, del orden de las  ó  operaciones. Sin embargo el carácter exponencial de algunos problemas hace que actualmente su tratamiento sea inviable.

Se piensa que estos problemas podrían estar relacionados con el teorema de incompletitud de Gödel. Según parece, ciertos enunciados matemáticos, entre los que se incluyen los que se refieren a cotas inferiores de tiempo de cifrado, no se pueden demostrar dentro del marco de la aritmética de Peano, que es la forma estándar de la aritmética.

Un ejemplo sería: si queremos determinar todas las formas posibles de asignar 70 personas a 70 trabajos diferentes de forma que todas las personas tengan un trabajo y ninguna plaza quede vacante, no sería difícil (para quien posea una mínima base matemática) establecer la solución: 70! (setenta factorial). Sin embargo, el cálculo de este número sería equivalente a un número del orden de 10 elevado a la centésima potencia, lo que significa que ni en la edad del universo podría resolverse computacionalmente este problema.

Hoy en día el estudio de este problema se plantea como la resolución o búsqueda de los límites en la computación.

La conjetura de Hodge

Artículo principal: Conjetura de Hodge.

La conjetura de Hodge dice que para variedad algebraicas proyectivas, los ciclos de Hodge son una combinación lineal racional de ciclos algebraicos.

La hipótesis de Riemann

Artículo principal: Hipótesis de Riemann.

La hipótesis de Riemann dice que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen una parte real de 1/2.

Existencia de Yang-Mills y del salto de masa

En Física, la teoría cuántica de Yang-Mills describe partículas con masa positiva que poseen ondas clásicas que viajan a la velocidad de la luz. Este es el salto de masa. El problema es establecer la existencia de la teoría de Yang-Mills y un salto de masa.

Las ecuaciones de Navier-Stokes

Artículo principal: Ecuaciones de Navier-Stokes.

Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de los líquidos y gases. Si bien éstas fueron formuladas en el siglo XIX, todavía no se conocen todas sus implicaciones, principalmente debido a la no linealidad de las ecuaciones y los múltiples términos acoplados. El problema consiste en progresar hacia una teoría matemática mejor sobre la dinámica de fluidos. El enunciado del problema es demostrar si a partir de unas condiciones iniciales de fluido laminar la solución del flujo para todos los instantes de tiempo es también un flujo laminar.

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Artículo principal: Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer trata sobre un cierto tipo de ecuación que define curvas elípticas sobre los racionales. La conjetura dice que existe una forma sencilla de saber si esas ecuaciones tienen un número finito o infinito de soluciones racionales.

Estos son los  problemas del milenio que quedan, si queréis mas información de cada uno, solo tenéis que pinchar en el link debajo del titulo.