sulucion al problema anterior propuesta por Juan Alberto

Esta es mi solución explicada sin utilización alguna de calculadora gráfica. 

Para calcular la distancia mas corta sin calculadora grafica, tenemos que calcular la posición del centro de las circunferencias.

par ello calcularemos el radio de la circunferencia, y la posición de un punto cualquiera de ella.

Para poder calcularlo, sacaremos los dos valores de un eje (en este caso el eje x) entre donde se comprenda la circunferencia                  (dominio de x)

Para ello despejamos y

1º circunferencia:

x^2+y^2=9                                            nota rc= raíz cuadrada

y = rc(9-x^2)

Es deci, para que la y no sea un numero imaginario, la x tiene que  ser un valor entre -3 y 3

2º circunferencia:

x^2+y^2-12x+6y+41=0

y^2+6y = -x^2+12x-41

si llamamos a la expresión -x^2+12x-41= Xt

y=(-6 +- rc(6^2 -4* 1 *-Xt))/2*1

y= (-6 +- rc(36+4Xt))/2

entonces

4 Xt= 48x-4x^2-164

 Entonces 48x-4x^2-164 tiene que ser un número mayor a -36 para poder resolver la raíz cuadrada sin números imaginarios

Planteamos la inecuación de segundo grado

-4x^2+48x-164 >= -36

                 

La resolvemos x= 4 ó 8

Es decir, la x puede ser un valor entre 4 y 8

Como el radio es la mitad de los valores que nos han salido:

Radio 1º circunferencia: 3

Radio 2º circunferencia: 2

Ahora solo nos queda calcular la posición de los centros de las circunferencias:

1º circunferencia:

Si trazamos una línea desde  el -3 hasta el 3, esta pasara por el centro sin torcerse, con lo que podremos saber que el centro tendrá el mismo valor de “y” que el punto 3 de x

Calculamos con la formula despejada que hemos sacado antes:

y= rc(9-3^2)

y=0

como el punto 3 de x está a 3 de distancia del centro, el cento estará en el      3-3=0

el centro de la primera estará en (0,0)

2º circunferencia:

Resolvemos com en la primera:

y= (-6 +- rc(36+ 48x -4x^2-164))/2                         si x =8

y= -3

el centro estará -3 de y, 8-2 de x: (6,-3)

calculamos la distancia uniendo sus centros y restando sus radios.

Como la primera esta en el eje de coordenadas, y el segundo centro a 6 de x, -3 de y. utilizamos Pitágoras: rc(6^2+(-3)^2) – los radios 3+2

El resultado es rc(45) -5

Espero que le hayan entendido y gustado mi explicacion