Los problemas del milenio son siete problemas matemáticos cuya resolución sería premiada, según anunció el Clay Mathematics Institute en el año 2000, con la suma de un millón de dólares cada uno. A día de hoy únicamente uno de estos problemas ha sido resuelto (la hipótesis de Poincaré, por el ruso Grigori Perelmán pero éste ni siquiera quiso cobrar el premio), por lo cual aún seis de ellos permanecen abiertos.
La conjetura de Poincare
En matemáticas, y más precisamente en topología, la conjetura de Poincaré (también llamada hipótesis de Poincaré) es un resultado sobre la esfera tridimensional (la 3-esfera); la hipótesis dejó de ser una conjetura para convertirse en un teorema tras su comprobación en 2003 por el matemático ruso Grigori Perelmán. El teorema sostiene que la esfera tridimensional, también llamada 3-esfera o hiperesfera, es la única variedad compacta tridimensional en la que todo lazo o círculo cerrado (1-esfera) se puede deformar (transformar) en un punto. Este último enunciado es equivalente a decir que sólo hay una variedad cerrada y simplemente conexa de dimensión 3: la esfera tridimensional.1
A fecha de 2013, ha sido el único de los siete problemas del milenio en ser resuelto.
P versus NP
Artículo principal: P versus NP.
Consiste en decidir si la inclusión entre las clases de complejidad P y NP es estricta.
Las matemáticas actuales no poseen la suficiente capacidad para poder distinguir problemas de tipo P y NP, para los cuales es necesario desarrollar algoritmos bastante complejos. El problema en sí reside en que existen problemas que no pueden resolverse en tiempo polinomial en una máquina determinista, es decir, no son abarcables. La aritmética actual tiene límites a la hora de realizar algunos cálculos que ni los ordenadores más potentes pueden realizar en un tiempo "razonable", es decir, del orden de las 
ó 
operaciones. Sin embargo el carácter exponencial de algunos problemas hace que actualmente su tratamiento sea inviable.
ó operaciones. Sin embargo el carácter exponencial de algunos problemas hace que actualmente su tratamiento sea inviable.
Se piensa que estos problemas podrían estar relacionados con el teorema de incompletitud de Gödel. Según parece, ciertos enunciados matemáticos, entre los que se incluyen los que se refieren a cotas inferiores de tiempo de cifrado, no se pueden demostrar dentro del marco de la aritmética de Peano, que es la forma estándar de la aritmética.
Un ejemplo sería: si queremos determinar todas las formas posibles de asignar 70 personas a 70 trabajos diferentes de forma que todas las personas tengan un trabajo y ninguna plaza quede vacante, no sería difícil (para quien posea una mínima base matemática) establecer la solución: 70! (setenta factorial). Sin embargo, el cálculo de este número sería equivalente a un número del orden de 10 elevado a la centésima potencia, lo que significa que ni en la edad del universo podría resolverse computacionalmente este problema.
Hoy en día el estudio de este problema se plantea como la resolución o búsqueda de los límites en la computación.
La conjetura de Hodge
Artículo principal: Conjetura de Hodge.
La conjetura de Hodge dice que para variedad algebraicas proyectivas, los ciclos de Hodge son una combinación lineal racional de ciclos algebraicos.
La hipótesis de Riemann
Artículo principal: Hipótesis de Riemann.
La hipótesis de Riemann dice que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen una parte real de 1/2.
Existencia de Yang-Mills y del salto de masa
En Física, la teoría cuántica de Yang-Mills describe partículas con masa positiva que poseen ondas clásicas que viajan a la velocidad de la luz. Este es el salto de masa. El problema es establecer la existencia de la teoría de Yang-Mills y un salto de masa.
Artículo principal: Ecuaciones de Navier-Stokes.
Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de los líquidos y gases. Si bien éstas fueron formuladas en el siglo XIX, todavía no se conocen todas sus implicaciones, principalmente debido a la no linealidad de las ecuaciones y los múltiples términos acoplados. El problema consiste en progresar hacia una teoría matemática mejor sobre la dinámica de fluidos. El enunciado del problema es demostrar si a partir de unas condiciones iniciales de fluido laminar la solución del flujo para todos los instantes de tiempo es también un flujo laminar.La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
Artículo principal: Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.
La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer trata sobre un cierto tipo de ecuación que define curvas elípticas sobre los racionales. La conjetura dice que existe una forma sencilla de saber si esas ecuaciones tienen un número finito o infinito de soluciones racionales.
Estos son los problemas del milenio que quedan, si queréis mas información de cada uno, solo tenéis que pinchar en el link debajo del titulo.
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